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2020高考数学刷题首选第五章不等式推理与证明算法初步与复数考点测试35基本不等式文

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考点测试 35 基本不等式
高考概览 高考在本考点的常考题型为选择题、填空题,分值5分,中等难度 考纲研读 1.了解基本不等式的证明过程 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题

一、基础小题

1.“a>0 且 b>0”是“a+2 b≥ ab”成立的(

)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 a>0 且 b>0? a+2 b≥ ab,但a+2 b≥ ab?/ a>0 且 b>0,只能推出 a≥0 且 b≥0. 2.已知 0<x<1,则 x(3-3x)取得最大值时 x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23

答案 B 解析 ∵0<x<1,∴x(3-3x)=3x(1-x)≤ 3x+?12-x?2=34.当且仅当 x=1-x,即 x=12时等号成立.

3.若函数 f(x)=x+x-1 2(x>2)在 x=a 处取最小值,则 a 等于(

)

A.1+ 2 B.1+ 3 C.3 D.4 答案 C

解析 ∵x>2,∴x-2>0,∴f(x)=x+x-1 2=(x-2)+x-1 2+2≥2 ?x-2?·x-1 2+2=2

+2=4,当且仅当 x-2=x-1 2,即(x-2)2=1 时等号成立,解得 x=1 或 3.又∵x>2,∴x=3,即

a 等于 3 时,函数 f(x)在 x=3 处取得最小值,故选 C.

4.函数 f(x)=x+1x(x<0)的值域为(

)

A.(-∞,0) B.(-∞,-2] C.[2,+∞) D.(-∞,+∞)

答案 B

解析 f(x)=-???-x-x1???≤-2

?-x?·-1x=-2,当且仅当-x=-1x,即 x=-1 时,等号

成立.

5.设 0<x<2,则函数 y= x?4-2x?的最大值为( )

A.2

B.

2 2

C. 3

D. 2

答案 D

解析

∵0<x<2,∴2-x>0,∴y=

x?4-2x?=



x?2-x?≤

x+2-x 2· 2 =

2,当且仅当

x=2-x,即 x=1 时取等号.

6.函数 y=x2+x+2x1+2(x>-1)的图象的最低点的坐标是(

)

A.(1,2) B.(1,-2) C.(1,1) D.(0,2)

答案 D 解析 y=?x+x+1?21+1=(x+1)+x+1 1≥2,当 x=0 时取最小值.

7.设 0<a<b,则下列不等式中正确的是( )

A.a<b< ab<a+2 b B.a< ab<a+2 b<b

C.a< ab<b<a+2 b D. ab<a<a+2 b<b

答案 B

解析 ∵0<a<b,∴a<a+2 b<b,A,C 错误; ab-a= a( b- a)>0,即 ab>a,D 错误.故

选 B.

8.已知 a>0,b>0,a,b 的等比中项是 1,且 m=b+1a,n=a+1b,则 m+n 的最小值是(

)

A.3 B.4 C.5 D.6

答案 B

解析 由题意知 ab=1,∴m=b+1a=2b,n=a+1b=2a,∴m+n=2(a+b)≥4 ab=4,当且仅

当 a=b=1 时取等号. 9.若 2x+2y=1,则 x+y 的取值范围是( )

A.[0,2] B.[-2,0]

C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]

答案 D

解析 ∵1=2x+2y≥2 2x·2y=2 2x+y当且仅当 2x=2y=12,即 x=y=-1 时等号成立,∴ 2x+y

≤12,∴2x+y≤14,得 x+y≤-2.

10.下列函数中,最小值为 4 的是( )

A.y=

x2+9 x2+5

B.y=sinx+si4nx(0<x<π )

C.y=ex+4e-x

D.y=log3x+4logx3

答案 C

解析

对于 A,因为

x2+5≥

5,所以 y=

x2+5+

4 x2+5的最小值不是 4,所以不满足题意;

对于 B,令 sinx=t∈(0,1],则 y=t+4t,y′=1-t42<0,因此函数 y=t+4t在(0,1]上单调递

减,所以 y≥5,所以不满足题意;对于 C,y≥2 ex·4e-x=4,当且仅当 ex=4e-x,即 x=ln 2 时 取等号,故满足题意;对于 D,当 x∈(0,1)时,log3x,logx3<0,所以不满足题意.
11.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元.若每批生产 x 件,则平均存储 x
时间为8天,且每件产品每天的存储费用为 1 元.为使平均到每件产品的生产准备费用与存储费用

之和最小,每批应生产产品( ) A.60 件 B.80 件 C.100 件 D.120 件 答案 B 解析 若每批生产 x 件产品,则每件产品的生产准备费用是8x00元,存储费用是x8元,总的费用

y=8x00+x8≥2

800 x

800 x

x ·8=20,当且仅当 x =8时取等号,得

x=80(件).故选

B.

12.设 M=???1a-1??????1b-1??????1c-1???,且 a+b+c=1,a,b,c∈(0,+∞),则 M 的取值范围是________.
答案 [8,+∞)

解析

M=b+a c·a+b c·a+c b≥2

bc·2 ac·2 abc

ab =8,当且仅当

a=b=c=13时取等号.

二、高考小题

??x2-x+3,x≤1, 13.(2017·天津高考)已知函数 f(x)=???x+2x,x>1.

设 a∈R,若关于 x 的不等式

f(x)≥x2+a 在 R 上恒成立,则 a 的取值范围是(

)

A.-4176,2 B.-4176,3196

C.[-2 3,2] D.-2 3,1369

答案 A 解析 ①当 x≤1 时,关于 x 的不等式 f(x)≥x2+a 在 R 上恒成立等价于-x2+x-3≤x2+a≤x2

-x+3 在 R 上恒成立,即有-x2+12x-3≤a≤x2-32x+3 在 R 上恒成立.由 y=-x2+12x-3 图象的

对称轴为 x=1414<1,可得在 x=14处取得最大值-1467;由 y=x2-32x+3 图象的对称轴为 x=3434<1,

可得在 x=34处取得最小值1369,则-1467≤a≤3196.

②当 x>1 时,关于 x 的不等式 f(x)≥x2+a 在 R 上恒成立等价于-x+2x≤x2+a≤x+2x在 R 上恒

成立,即有-32x+2x≤a≤x2+2x在 R 上恒成立,由于 x>1,所以-32x+2x≤-2

3x 2 2 ·x=-2 3,当

且仅当 x= 2 时取得最大值-2 3

3;因为 x>1,所以12x+2x≥2

12x·2x=2,当且仅当 x=2 时取得

最小值 2,则-2 3≤a≤2. 由①②可得-1467≤a≤2.故选 A.

14.(2018·天津高考)已知 a,b∈R,且 a-3b+6=0,则 2a+81b的最小值为________.

1 答案 4

解析 由已知,得 2a+81b=2a+2-3b≥2 2a·2-3b=2 2a-3b=2 2-6=14,当且仅当 2a=2-3b 时等

号成立,由 a=-3b,a-3b+6=0,得 a=-3,b=1,故当 a=-3,b=1 时,2a+81b取得最小值14.

15.(2015·重庆高考)设 a,b>0,a+b=5,则 a+1+ b+3的最大值为________.

答案 3 2

解析 令 t= a+1+ b+3,

则 t2=( a+1+ b+3)2

=a+1+b+3+2 a+1· b+3 ≤9+a+1+b+3=18, 当且仅当 a+1=b+3 时,

即 a=72,b=32时,等号成立,

所以 t 的最大值为 3 2. 16.(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物 600 吨,每次购买 x 吨,运费为 6 万元/次, 一年的总存储费用为 4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x 的值是________. 答案 30 解析 设总费用为 y 万元,则 y=6x00×6+4x=4x+90x0≥240,当且仅当 x=9x00,即 x=30 时, 等号成立. 17.(2017·天津高考)若 a,b∈R,ab>0,则a4+a4bb4+1的最小值为________.

答案 4

解析

∵a4+4b4≥2a2·2b2=4a2b2(当且仅当

a2=2b2

a4+4b4+1 4a2b2+1 时“=”成立),∴ ab ≥ ab =

4ab+a1b,由于 ab>0,∴4ab+a1b≥2 4ab·a1b=4 当且仅当 4ab=a1b时“=”成立,故当且仅当

??a2=2b2, ???4ab=a1b

a4+4b4+1 时, ab 的最小值为 4.

三、模拟小题

18.(2018·廊坊一模)已知 m>0,n>0,2m+n=1,则41m+2n的最小值为(

)

9 A.4 B.2 2 C.2 D.16

答案 C

解析 ∵m>0,n>0,2m+n=1,则41m+2n=(2m+n)·41m+2n=52+4nm+4nm≥52+2 4nm·4nm=92,

当且仅当 n=23,m=16时取等号.故选 C.

19.(2018·山东日照模拟)若实数 x,y 满足 xy>0,则x+x y+x+2y2y的最大值为(

)

A.2- 2 B.2+ 2

C.4+2 2 D.4-2 2

答案 D

解析

x x+y



2y x+2y



x x+y



x+2y-x x+2y



1



x x+y



x x+2y



1



xy ?x+y??x+2y?



1



xy x2+3xy+2y2=1+

1 x

2y,因为 xy>0,所以xy>0,yx>0.由基本不等式可知xy+2xy≥2

2,当且仅当

3+y+ x

x=

2y 时等号成立,所以 1+3+xy1+2xy≤1+3+12

=4-2 2

2.

20.(2018·四川资阳诊断)已知 a>0,b>0,且 2a+b=ab,则 a+2b 的最小值为( )

A.5+2 2 B.8 2 C.5 D.9 答案 D 解析 ∵a>0,b>0,且 2a+b=ab,∴a=b-b 2>0,解得 b>2,即 b-2>0,则 a+2b=b-b 2+2b

2 =1+b-2+

2(b-2)+4≥5+2 b-2 2·2?b-2?=9,当且仅当 b=3,a=3 时等号成立,其最小值为 9.

21.(2018·江西九校联考)若正实数 x,y 满足(2xy-1)2=(5y+2)·(y-2),则 x+21y的最大

值为( )

A.-1+3 2 2 B.1

C.1+3 2 3 D.3 2 2

答案 A 解析 由(2xy-1)2=(5y+2)·(y-2),可得(2xy-1)2=9y2-(2y+2)2,即(2xy-1)2+(2y+ 2)2=9y2,得 2x-1y2+2+2y2=9,又 2x-1y2+2+2y2≥2x-1y+2 2+2y2=2x+21y+22,当且仅当 2x-1y=2

+2y时等号成立,所以 2x+1y+22≤18,得 2x+1y≤3 2-2,所以 x+21y≤3 22-2,所以 x+21y的最

大值为-1+3 2 2.故选 A. 22.(2018·南昌摸底)已知函数 y=x+x-m 2(x>2)的最小值为 6,则正数 m 的值为________.

答案 4

解析 由 x>2,知 x-2>0,又 m>0,则 y=(x-2)+x-m 2+2≥2 ?x-2?x-m 2+2=2 m+2, 取等号的条件为 x-2=x-m 2.从而依题意可知 2 m+2=6,解得 m=4.
23.(2018·邯郸模拟)设 x>0,y>0,且 x-1y2=16xy,则当 x+1y取最小值时,x2+y12=________.

答案 12

解析 ∵x>0,y>0,∴当 x+1y取最小值时,x+1y2 取得最小值,∵x+1y2=x2+y12+2yx,又 x-1y 2=1x6y,∴x2+y12=2yx+1x6y,∴x+1y2=4yx+16xy≥2 4yx·1x6y=16,∴x+1y≥4,当且仅当4yx=16xy, 即 x=2y 时取等号,∴当 x+1y取最小值时,x=2y,x2+y12+2yx=16,∴x2+y12+2×y2y=16,∴x2
1 +y2=16-4=12.

一、高考大题

本考点在近三年高考中未涉及此题型.

二、模拟大题

1.(2018·河北唐山模拟)已知 x,y∈(0,+∞),x2+y2=x+y.

(1)求1x+1y的最小值;

(2)是否存在 x,y 满足(x+1)(y+1)=5?并说明理由.



1 1 x+y x2+y2 2xy (1)因为x+y= xy = xy ≥ xy =2,当且仅当

x=y=1

时,等号成立,所以1x+1y的最小

值为 2.

(2)不存在.理由如下:

因为 x2+y2≥2xy,

所以(x+y)2≤2(x2+y2)=2(x+y).

又 x,y∈(0,+∞),所以 x+y≤2.

从而有(x+1)(y+1)≤?x+1?+2 ?y+1?2≤4,

因此不存在 x,y 满足(x+1)(y+1)=5.

2.(2018·河南驻马店检测)某地需要修建一条大型输油管道通过 240 km 宽的沙漠地带,该段

输油管道两端的输油站已建好,余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离

修建增压站(又称泵站).经预算,修建一个增压站的费用为 400 万元,铺设距离为 x km 的相邻两

增压站之间的输油管道的费用为 x2+x 万元.设余下工程的总费用为 y 万元.

(1)试将 y 表示成 x 的函数;

(2)需要修建多少个增压站才能使 y 最小,其最小值为多少?

解 (1)设需要修建 k 个增压站,

则(k+1)x=240,即 k=24x0-1.

所以 y=400k+(k+1)(x2+x)

=400???2x40-1???+24x0(x2+x)
=96x000+240x-160. 因为 x 表示相邻两增压站之间的距离,则 0<x<240. 故 y 与 x 的函数关系是 y=96x000+240x-160(0<x<240).
(2)y=960x00+240x-160≥2 96x000·240x-160 =2×4800-160=9440, 当且仅当96x000=240x,即 x=20 时等号成立, 此时 k=2x40-1=22400-1=11. 故需要修建 11 个增压站才能使 y 最小,其最小值为 9440 万元. 3.(2018·保定诊断)某商人投资 81 万元建一间工作室,第一年装修费为 1 万元,以后每年增 加 2 万元,把工作室出租,每年收入租金 30 万元. (1)若扣除投资和各种装修费,则从第几年开始获取纯利润? (2)若干年后该商人为了投资其他项目,对该工作室有两种处理方案:①年平均利润最大时, 以 46 万元出售该工作室;②纯利润总和最大时,以 10 万元出售该工作室.问该商人会选择哪种方 案? 解 (1)设第 n 年获取利润为 y 万元. n 年付出的装修费构成一个首项为 1,公差为 2 的等差数列,n 年付出的装修费之和为 n×1+ n?n2-1?×2=n2,又投资 81 万元,n 年共收入租金 30n 万元, ∴利润 y=30n-n2-81(n∈N*). 令 y>0,即 30n-n2-81>0,∴n2-30n+81<0, 解得 3<n<27(n∈N*),∴从第 4 年开始获取纯利润. (2)方案①:年平均利润 t=30n-?n81+n2? =30-8n1-n=30-???8n1+n???≤30-2 8n1·n =12(当且仅当8n1=n,即 n=9 时取等号), ∴年平均利润最大时,以 46 万元出售该工作室共获利润 12×9+46=154(万元). 方案②:纯利润总和 y=30n-n2-81=-(n-15)2+144(n∈N*), 当 n=15 时,纯利润总和最大,为 144 万元,

∴纯利润总和最大时,以 10 万元出售该工作室共获利润 144+10=154(万元),两种方案盈利 相同,但方案①时间比较短,所以选择方案①.
4.(2018·南京质检)为了净化空气,某科研单位根据实验得出,在一定范围内,每喷洒 1 个 单位的净化剂,空气中释放的浓度 y(单位:毫克/立方米)随着时间 x(单位:天)变化的函数关系式

??81-6x-1,0≤x≤4,
近似为 y=
???5-12x,4<x≤10.

若多次喷洒,则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放

的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于 4(毫克/立方米) 时,它才能起到净化空气的作用.
(1)若一次喷洒 4 个单位的净化剂,则净化时间可达几天? (2)若第一次喷洒 2 个单位的净化剂,6 天后再喷洒 a(1≤a≤4)个单位的药剂,要使接下来的 4 天中能够持续有效净化,试求 a 的最小值(精确到 0.1,参考数据: 2取 1.4). 解 (1)因为一次喷洒 4 个单位的净化剂,所以浓度

f(x)=4y=???86-4x-4,0≤x≤4, ??20-2x,4<x≤10.
则当 0≤x≤4 时, 由86-4x-4≥4,解得 x≥0,所以此时 0≤x≤4. 当 4<x≤10 时, 由 20-2x≥4,解得 x≤8,所以此时 4<x≤8. 综合得 0≤x≤8,若一次喷洒 4 个单位的净化剂,则有效净化时间可达 8 天. (2)设从第一次喷洒起,经 x(6≤x≤10)天,浓度 g(x)=2???5-12x???+a???8-?1x6-6?-1??? =10-x+1146-ax-a =(14-x)+1146-ax-a-4≥2 ?14-x?·1416-ax-a-4
=8 a-a-4. 因为 14-x∈[4,8],而 1≤a≤4, 所以 4 a∈[4,8],故当且仅当 14-x=4 a时,y 有最小值为 8 a-a-4. 令 8 a-a-4≥4,解得 24-16 2≤a≤4,所以 a 的最小值为 24-16 2≈1.6.



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