当前位置: 首页 > >

2019年人教A版必修5高二数学3.4基本不等式3优质课教案

发布时间:

3.4 基本不等式 ab ? a?b 2 一、三维目标: 1、知识与技能: 理解基本不等式的内容及其证明,能应用基本不等式解决求最值、证 明不等式、比较大小、求取值范围等问题 2、过程与方法: 能够理解并建立不等式的知识链 3、情感、态度与价值观: 通过运用基本不等式解答实际问题, 提高用数学手段解答现实生活中 的问题的能力和意识 4、本节重点: 应用数形结合的思想,理解基本不等式,并从不同角度探索基本不等 式的证明过程 5、本节难点: 应用基本不等式求最值 二、课程引入: 第 24 届世界数学家大会在北京召开,会标设计如图: 四个以 a,b 为直角边的直角△ABC,组成正方形 ABCD 则 AB ? BC ? CD ? DA ? a 2 ? b2 S ABCD ? a 2 ? b 2 S ?ABE ? 1 ab 2 如图可知: S ABCD ? 4S?ABE 即 a 2 ? b 2 ? 2ab 当且仅当小正方形 EFGH 面积为 0 时取等号,即 a ? b ? 0, a ? b 时取得等 号 三、新课讲授: (一)基本不等式的推证: 1、重要不等式与基本不等式 由引入中提到的重要不等式 a 2 ? b 2 ? 2ab ,将其中的 a , b 用 a , b 代换, 得到基本不等式 ab ? a?b , 当且仅当 a ? b 时, 即 a ? b 时取得等号。 2 特别注意,重要不等式 a 2 ? b 2 ? 2ab 的适用范围是全体实数, 而基本不等式 ab ? a?b 的使用需要 a ? 0, b ? 0 2 2、基本不等式的几种表述方式 平均数角度:两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数(均值不 等式定理) 数列角度:两正数的等差中项不小于它们的等比中项 探究:基本不等式的几何表示:半径不小于半弦长 3、分析法推证基本不等式 要证 ab ? a?b ,只需证明 a ? b ? 2 ab ( 2 ) 。要证明( 2 )只需证明 2 。 a ? b ? 2 ab ? 0 (3) 要证明(3)只需证明 ( a ? b )2 ? 0 (4) 。 (4)式显然成立,故得证。 (二)基本不等式的应用与提高: 1、你是设计师! (1)春天到了,学校决定用篱笆围一个面积为 100 平米的花圃种花。 有以下两种方案: 圆形花圃:造价 12 元/米 你觉得哪个方案更省钱呢? 分析及解答:因为初中学习过平面几何,同学们大都知道,同样长度 的篱笆围圆形会比围矩形得到的面积大,由此可知,同样的面积肯定 是为圆形用的材料省。 但是本题涉及造价问题, 两种篱笆的花费不同。 圆形篱笆虽然需要的材料少,但是每米的花费高,所以到底应该用哪 个方案需要动手算一下才能知道。在这里让学生分成两派,可以自己 选择一个认为比较省钱的方案去计算。 圆形花圃: S圆 ? ?r 2 ? 100, r ? 10 矩形花圃:造价 10 元/米 ? , C ? 2?r ? 20 ? , 花费约为432元 矩形花圃:设两边为 x,y, C ? 2( x ? y) ? 4 xy ? 40 ,故当 x=y 时花费 最少为 400 元 (2)现在只有 36 米的篱笆可用,怎么样设计才能使得矩形花圃的面 积最大? 解: C ? 2( x ? y ) ? 36, x ? y ? 18? x ? y ? 2 xy ?18 ? 2 xy ,? S ? xy ? 81 当且仅当x ? y时,面积有最大值为 81m2 (3)有人出了个主意,让花圃的一面靠墙,利用墙壁作为花圃的一 边,可以省一部分材料。那么发挥你的聪明才智,用这 36 米的篱笆, 怎么样设计才能围出面积最大的花圃? 分析:已知 x ? 2 y为定值,求 S ? xy 的最大值的问题 解: x ? 2 y ? 36 ? 2 x ? 2 y ? xy ? 162 ?当且仅当 x ? 2 y时, S有最大值为 162m 2 2、看谁算得快! (1)若x ? y ? 4, 则x ? y有最___值为___ (2)若x ? y ? 4, 则x ? y有最 ___值为___ (3)若2x ? y ? 8, 则x ? y有最 ___值为___,此时x ? __ y ? __ (4)若x ? y ? 6则2x ? 3 y有最 ___值为___此时x ? __ y ? __ 4 (5)已知 a ? 0, 则a ? 有最 ___ 值为 ___ 此时 a ? __ a 4 (6)已知 a ? 0, 则 ? a ? 有最 ___ 值为 ___ 此时 a ? __ a 4 (7)已知 a ? 0, 则a ? 有最 ___ 值为 ___ 此时 a ? __ a 3、大家来挑错! (1)求函数 y ? x ? 4 的值域 x 解: ?y ? x? 4 4 ? 2 x ? ? 4 ?函数值域为 [4, ? ?) x x 分析:结合上一系列题目中的(5)-(7)题可知,本题的解答忽略 了对基本不等式使用时必须是正数这一点注意事项。 (2)已知 a ? 3, 求a ? 4 的最小值 a ?3 解: ? a ? 3,? a ? 3 ? 0,? a ? 4 4 4 4 ? 2 a? ,当a ? ,即a ? 4时, a ? 取得最小值为 8 a ?3 a ?3 a ?3 a ?3 本题的解答在使用基本不等式时没有找到定值条件, 只是盲目的套用 基本不等式的形式,导致所得结果并不是最小的值。 提醒同学注意:在使用基本不等式求最值为题时,式中的积或和必须 是定值。 (3)求函数 y ? sin ? ? 4 ? 其中 ? ? (0, ]的最小值 sin ? 2 解:y ? sin ? ? 4 4 ? 2 sin ? ? ? 4 ?函数的最小值为 4。 sin ? sin ? 本题的解答没有注意 sin ? 本身的限制, 使得基本不等式的等号无法取 得。 提醒同学注意:最值是否存在要考虑基本不等


相关推荐


友情链接: